معادلة xʸ=yˣ

عموما، المعادلات الأسية عمليات غير تبادلية. ولكن تعتبر معادلة xʸ=yˣ حالة خاصة، عندما تكون $x=2,y=4$.

التاريخ

دانييل برنولي

ليونهارت أويلر

تم ذكر معادلة $x^{y}=y^{x}$ لأول مرة في رسالة دانييل برنولي إلى كريستيان غولدباخ يوم 29 يونيو 1728. ذكر فيها أن $x\neq y$ إلا في حالة $(2,4)$ و $(4,2)$، على الرغم من أن هناك العديد من الحلول غير المتناهية.
جاء الرد من كريستيان غولدباخ في 31 يناير 1729، ذكر فيها الصيغة العامة لحل هذه المعادلة:

$y=vx$

وهي صيغة مشابهه لما ذكره ليونهارت أويلر.

أشار فان هينجيل (J. van Hengel) أنه إذا كان $r,n$ أعداد صحيحة موجبة. بحيث تكون $r\geqslant 3$ أو $n\geqslant 3$. يكون
$r^{r+n}>(r+n)^{r}$

وهذا كافي لاعتبار $x=1$ و $x=2$ في محاولة لإيجاد حل المعادلة.

تم ذكر المشكلة في العديد من الأوراق البحثية والمنشورات. ففي عام 1960 تم ذكر المعادلة في منافسة ويل وليام بوتنام الرياضية.

حلول حقيقة موجبة

يوجد العديد من الحلول إذا كانت المعادلة بالشكل التالي:

$x=y$

ولكن لحل معادلة $x^{y}=y^{x}$، يجب اعتبار أن $x\neq y$. وأن $y=vx$.

وبذلك يكون

$(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}$.

بأخذ ${\tfrac {1}{x}}$ أسا لكا الطرفين، ثم القسمة على $x$

$v=x^{v-1}$.

يكون حل المعادلة على الشكل التالي :

$x=v^{\frac {1}{v-1}}$,

$y=v^{\frac {v}{v-1}}$.

بأخذ $v=2$ أو $v={\tfrac {1}{2}}$، يكون الحل الصحيح الموجب للمعادلة هو:

$4^{2}=2^{4}$.

انظر أيضا

• الدوال والثوابت الرياضية
• معدل الحرارة (الكفاءة).
• معادلات نيوتن-أويلر.
• الرقم الصغير.
• عدد غير أولي.
• الأس العشري.
• طريقة جاوس سيدل.
• عدد فاصل عائم .
• مقياس إنساني .
• نظام الوحدات الدولي.
• كسر .
• عدد صحيح خال من المربعات.
• جدول التفكيك إلى عوامل أولية.
• تحليل عدد صحيح إلى عوامل.
• المبرهنة الأساسية في الحسابيات.
• غربال إراتوستينس.
• التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب
• قضبان كويزنير
• خوارزمية شوور.
• فيزياء رياضية
• تحليل إلى عوامل
• جدول القواسم